Calcolo Esempi

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Passaggio 1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi $2 e^{- \frac{y}{x}}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + 2 e^{- V} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $2 e^{- V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Combina.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $e^{- V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- V}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- V \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $V$ per $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{V}$ per $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $e^{V}$ rispetto a $V$ è $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

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Passaggio 6.3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Passaggio 6.3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.1

Espandi $\ln (e^{V})$ spostando $V$ fuori dal logaritmo.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Passaggio 6.3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Passaggio 6.3.2.3

Moltiplica $V$ per $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Passaggio 6.3.3

Espandi $\ln (x^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Passaggio 6.3.4

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ per $y$ .

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Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ .

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$