Calcolo Esempi

$2 x (y d) x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.2

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

Passaggio 2.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x = - 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x = - 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 x y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 x y$ a $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x$ da $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{2 y}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Passaggio 4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci $2 x y$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4

$x$ e $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $y^{2} - x^{2}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $y^{2} - x^{2}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{2}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{y}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $2$ per $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.5

$\frac{1}{y}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{y}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Espandi $(- y - x) (y - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1.1.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.1.8

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.2

Sottrai $x y$ da $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.2.2

Sottrai $x y$ da $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.3.3

Somma $- y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $1$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Passaggio 13.3

Applica la regola costante.

$g (y) = y + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$