Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - x^{7} e^{y} = 8 e^{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Somma $x^{7} e^{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{y} + x^{7} e^{y}$

Passaggio 1.2

Scomponi $e^{y}$ da $8 e^{y} + x^{7} e^{y}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $e^{y}$ da $8 e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 8 + x^{7} e^{y}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $e^{y}$ da $x^{7} e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 8 + e^{y} x^{7}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $e^{y}$ da $e^{y} \cdot 8 + e^{y} x^{7}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (8 + x^{7})$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (8 + x^{7}))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (8 + x^{7}))$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 8 + x^{7}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (8 + x^{7}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u} d u = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 8 + x^{7} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 8 d x + \int x^{7} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int x^{7} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + C_{2} + \frac{1}{8} x^{8} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + \frac{1}{8} x^{8} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $e^{- y}$ per $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{8} x^{8}) + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\frac{1}{8} x^{8})$ come $- (\frac{1}{8} x^{8})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{8} x^{8}) + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.3

$\frac{1}{8}$ e $x^{8}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{8 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 1 \cdot (8 x) + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Riscrivi $- 1 \cdot (8 x)$ come $- (8 x)$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - (8 x) + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.6

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x + \frac{K}{- 1}$

Passaggio 3.1.3.1.7

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x - 1 \cdot K$

Passaggio 3.1.3.1.8

Riscrivi $- 1 \cdot K$ come $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{- y})$ spostando $- y$ fuori dal logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Passaggio 3.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ come $- \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x + K)$