Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x^{2} - 1} y = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{4}{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{4}{x^{2} - 1} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{4}{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{4 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.7.5.2

Dividi $(B) (x + 1)$ per $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Passaggio 1.2.2.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 1.2.2.1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Passaggio 1.2.2.1.8

Sposta $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Passaggio 1.2.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 1.2.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A + B$ con $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 1.2.2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{4 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Passaggio 1.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{4 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{4 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{4 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 1.2.6

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 1.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Passaggio 1.2.9

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.9.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.2.9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2.9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Passaggio 1.2.10

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Passaggio 1.2.12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Passaggio 1.2.12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Passaggio 1.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Passaggio 1.2.13.1.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Passaggio 1.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{4 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Passaggio 1.2.13.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{2 (2) \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Passaggio 1.2.13.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 \cdot 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Passaggio 1.2.13.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)) + C}$

Passaggio 1.2.13.4

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

Passaggio 1.2.13.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 1)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2}) + \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Passaggio 1.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2})}$

Passaggio 1.6

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1.8

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ((x - 1) (x - 1))$

Passaggio 1.9

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Passaggio 1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Passaggio 1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.10.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.10.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.10.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.10.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x + 1)$

Passaggio 1.10.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1.11

Moltiplica $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ per $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.12.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.12.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.3

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ e $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4

Combina.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x - 1))} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sposta $x + 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1 + 2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2} (4 y)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x + 1)}^{3} (x - 1)$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.2.7

Sposta $4$ alla sinistra di $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x + 1)}^{3}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2 + 1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.1.2

Scomponi $x - 1$ da $4 (x - 1) y$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.1.3

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)$ .

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi $- 1 \frac{d y}{d x}$ come $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.4

Espandi $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{(x - 1) (x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5.2

Sottrai $\frac{d y}{d x} x$ da $x \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Sposta $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5.2.2

Sottrai $x \frac{d y}{d x}$ da $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6.5.3

Somma $x^{2} \frac{d y}{d x}$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ per $0$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] = 0$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = \int 0 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = 0 + C$

Passaggio 6.2

Somma $0$ e $C$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = C$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ e $y$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}} = C$

Passaggio 7.1.2

Riordina i fattori in $\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = C$

Passaggio 7.2

Moltiplica ogni lato per ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 7.4

Dividi per ${(x - 1)}^{2}$ ciascun termine in $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Dividi per ${(x - 1)}^{2}$ ciascun termine in $y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$