Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x y^{2}$ , $y (0) = 5$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 2, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y, 2, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.2.8

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di $y, 2, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $2 y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ per $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = x^{2} y + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = x^{2} y + 2 K y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} y + 2 K y = - 2$ .

$x^{2} y + 2 K y = - 2$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y + 2 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$y x^{2} + 2 K y = - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $2 K y$ .

$y x^{2} + y (2 K) = - 2$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y (2 K)$ .

$y (x^{2} + 2 K) = - 2$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $x^{2} + 2 K$ ciascun termine in $y (x^{2} + 2 K) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $x^{2} + 2 K$ ciascun termine in $y (x^{2} + 2 K) = - 2$ .

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $5$ in $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ .

$5 = - \frac{2}{0^{2} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$ .

$- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$

Passaggio 6.2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2}{0 + K} = 5$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$- \frac{2}{K} = 5$

Passaggio 6.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$K, 1$

Passaggio 6.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$K$

Passaggio 6.4

Moltiplica per $K$ ciascun termine in $- \frac{2}{K} = 5$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{2}{K} = 5$ per $K$ .

$- \frac{2}{K} K = 5 K$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{K}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

Passaggio 6.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = 5 K$

Passaggio 6.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi l'equazione come $5 K = - 2$ .

$5 K = - 2$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 K = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 K = - 2$ .

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{- 2}{5}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{2}{5}$

Passaggio 7

Sostituisci $- \frac{2}{5}$ a $K$ in $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- \frac{2}{5}$ a $K$ .

$y = - \frac{2}{x^{2} - \frac{2}{5}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{2}{x^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5}}$

Passaggio 7.2.2

$x^{2}$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5}{5} - \frac{2}{5}}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5 - 2}{5}}$

Passaggio 7.2.4

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = - \frac{2}{\frac{5 x^{2} - 2}{5}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - (2 \frac{5}{5 x^{2} - 2})$

Passaggio 7.4

Moltiplica $2 \frac{5}{5 x^{2} - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$2$ e $\frac{5}{5 x^{2} - 2}$ .

$y = - \frac{2 \cdot 5}{5 x^{2} - 2}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = - \frac{10}{5 x^{2} - 2}$