Calcolo Esempi

$2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $2 y \sqrt{x}$ ciascun termine in $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $2 y \sqrt{x}$ ciascun termine in $2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x} = y^{2} + 2$ .

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{x} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x}} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 y \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $2 y \sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{y}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.2

Sposta $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.4

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x^{1}} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.7.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{2}{2 y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{1}{y \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{y \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.2

Sposta $\sqrt{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Passaggio 1.1.3.1.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Passaggio 1.1.3.1.6.4

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Passaggio 1.1.3.1.6.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x^{1}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.7.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x}$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 x y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{y \sqrt{x}}{2 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x}}{y x} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{y x}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{y x \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Riordina i fattori di $y x \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y}{2 x y} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Scomponi $\sqrt{x}$ da $y \sqrt{x} y + \sqrt{x} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Scomponi $\sqrt{x}$ da $y \sqrt{x} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} \cdot 2}{2 x y}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Scomponi $\sqrt{x}$ da $\sqrt{x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)}{2 x y}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Scomponi $\sqrt{x}$ da $\sqrt{x} (y \cdot y) + \sqrt{x} (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y \cdot y + 2)}{2 x y}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{y^{2} + 2}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} (\frac{\sqrt{x}}{2 x} \cdot \frac{y^{2} + 2}{y})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{2 x}$ per $\frac{y^{2} + 2}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x y}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{y (2 x)}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} (y^{2} + 2)}{2 x}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y^{2} + 2$ da $\sqrt{x} (y^{2} + 2)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 2} \cdot \frac{(y^{2} + 2) \sqrt{x}}{2 x}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y^{2} + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y^{2} + 2$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y^{2} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 y + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = x^{\frac{1}{2}} + C$