Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula

$e^{\int P (x) d x}$ , dove

$P (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore

$e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per

$e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (x e^{x})$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (x e^{x})$

Passaggio 2.3

Moltiplica

$e^{2 x}$ per

$e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta

$e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x} e^{2 x} x$

Passaggio 2.3.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x + 2 x} x$

Passaggio 2.3.3

Somma

$x$ e

$2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{3 x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{3 x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{3 x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} y = \int x e^{3 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = x$ e

$d v = e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{3}$ e

$e^{3 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Passaggio 6.2.2

$x$ e

$\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Passaggio 6.3

Poiché

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Passaggio 6.4

Sia

$u = 3 x$ . Allora

$d u = 3 d x$ , quindi

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sia

$u = 3 x$ . Trova

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Differenzia

$3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 6.4.1.2

Poiché

$3$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$3 x$ rispetto a

$x$ è

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 6.4.1.4

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$3$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi il problema usando

$u$ e

$d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 6.5

$e^{u}$ e

$\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 6.6

Poiché

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

$u$ , sposta

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.8

L'integrale di

$e^{u}$ rispetto a

$u$ è

$e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.9

Riscrivi

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ come

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Passaggio 6.10

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$3 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Passaggio 7

Dividi per

$e^{2 x}$ ciascun termine in

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per

$e^{2 x}$ ciascun termine in

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di

$e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di

$e^{3 x}$ e

$e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi

$e^{2 x}$ da

$\frac{1}{3} x e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per

$1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi

$\frac{1}{3} x e^{x}$ per

$1$ .

$y = \frac{1}{3} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica

$\frac{1}{3} x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

$\frac{1}{3}$ e

$x$ .

$y = \frac{x}{3} e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

$\frac{x}{3}$ e

$e^{x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.3

Elimina il fattore comune di

$e^{3 x}$ e

$e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1

Scomponi

$e^{2 x}$ da

$- \frac{1}{9} e^{3 x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.2.1

Moltiplica per

$1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.4

Dividi

$- \frac{1}{9} e^{x}$ per

$1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7.3.1.4

$e^{x}$ e

$\frac{1}{9}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{e^{x}}{9} + \frac{C}{e^{2 x}}$