Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2} y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Passaggio 1.6

Poiché $- x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $y$ è $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 1.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.7.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Passaggio 2.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 1 = - 1$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 1 = - 1$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = y - x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.2.2

Poiché $\frac{1}{2} y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Sottrai $y$ da $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Passaggio 9.1.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Passaggio 9.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Dividi la frazione $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Passaggio 9.1.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Passaggio 9.1.2.2.2.1.2

Dividi $- 1 y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Passaggio 9.1.2.2.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Passaggio 9.1.2.3

Combina i termini opposti in $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.3.1

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 9.1.2.3.2

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x^{2}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 10.3

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 10.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Passaggio 10.6

Riscrivi $- x^{- 1} + C$ come $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$