Calcolo Esempi

$(3 x^{2} + 2 y) d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 2 y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Passaggio 1.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 = 2$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 = 2$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = 2 x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Passaggio 8.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y - 2 y$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} + 2 y - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $3 x^{2}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 10.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Passaggio 10.5.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + x^{3} + C$