Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.5

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $e^{r x}$ da $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $e^{r x}$ da $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 2.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 3 x^{2} + 5$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} = 5$

Passaggio 3.1.1.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$r^{2} - 3 r - 3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 3 x^{2} - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.6

Somma $9$ e $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7

Scomponi $3$ da $12 x^{2} + 21$ .

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Passaggio 3.4.1.7.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7.2

Scomponi $3$ da $21$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7.3

Scomponi $3$ da $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Somma $9$ e $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7

Scomponi $3$ da $12 x^{2} + 21$ .

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Passaggio 3.5.1.7.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7.2

Scomponi $3$ da $21$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7.3

Scomponi $3$ da $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $9$ e $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $3$ da $12 x^{2} + 21$ .

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Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $3$ da $12 x^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $3$ da $21$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $3$ da $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

$\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ e $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Passaggio 6.2

$\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ e $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}}$