Calcolo Esempi

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y^{2} - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6

Somma $4 x y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

Passaggio 1.9

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Moltiplica $2 x y^{2} - 3$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

Passaggio 1.9.2

Somma $4 x y^{2}$ e $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

Passaggio 1.9.3

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $6 y^{2} x - 3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $6 y^{2} x - 3$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{2} x - 3$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

Passaggio 5.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

Passaggio 5.3

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

Passaggio 5.5

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

Passaggio 5.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ .

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} x^{2} - 3 x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.3

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.5

Poiché $- 3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.8

Somma $2 x^{2} y$ e $0$ .

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.9

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.10

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.13

Moltiplica $y^{2} x^{2} - 3 x$ per $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.14

Somma $2 x^{2} y^{2}$ e $y^{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riordina $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.3.14.2

Somma $2 x^{2} y^{2}$ e $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 9.1.2

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $- 3 x + 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

Passaggio 9.1.3.3

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $4 y$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Passaggio 10.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (y) = 4 \int y d y$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Passaggio 12.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Passaggio 12.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Passaggio 12.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Passaggio 12.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$