Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int x d x}$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Passaggio 1.4

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Allora $d u_{1} = x d x$ , quindi $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sia $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Passaggio 6.1.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Passaggio 6.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Passaggio 6.1.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2}$

Passaggio 6.1.1.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = e^{u_{1}}$ e $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.4

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.3.5

$e^{u_{1}}$ e $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.5.4

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6.6

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Riscrivi $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ come $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 6.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Sottrai $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ da $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Passaggio 6.7.2.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

Passaggio 9

Poni il numeratore uguale a zero.

$C = 0$

Passaggio 10

Sostituisci $0$ a $C$ in $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Sostituisci $0$ a $C$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Passaggio 10.2

Dividi $0$ per $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$