Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 y + x + x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi.

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d x} = (2 + 2 y) + x + x y$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d x} = 2 (1 + y) + x \cdot (1 + y)$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + y) (2 + x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (2 + x))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (2 + x))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = 2 + x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = (2 + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int 2 + x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 + x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 + x d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int 2 + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int 2 d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C} = | 1 + y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C}$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C} - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x + C}$ come $e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} e^{C} - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + 2 x} - 1$