Calcolo Esempi

$x d x - 4 y d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y d y = - x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 3.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.4.3

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per scrivere $- \frac{K}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

Passaggio 3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x^{2} - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.3.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

Passaggio 3.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Passaggio 3.3.7

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$