Calcolo Esempi

$(3 y^{2} + 2 x y + 2 x) d x + (6 x y + x^{2} + 3) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2} + 2 x y + 2 x]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.5

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x + 0$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $6 y + 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 2 x$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 6 x y + x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y + x^{2} + 3]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x y + x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $6 y + 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y + 2 x$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x + 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 6 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x + 6 y = 2 x + 6 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 x y + 2 x d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 3 y^{2} + 2 x y + 2 x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d x + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + \int 2 x y d x + \int 2 x d x$

Passaggio 5.3

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y \int x d x + \int 2 x d x$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x d x$

Passaggio 5.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x d x$

Passaggio 5.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + C + 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 5.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.8.2

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.8.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + \frac{2 x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.8.3.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{2} x$ rispetto a $y$ è $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x y + \frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x^{2}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x y + x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.5

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.6

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x y + x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma $6 x y + x^{2}$ e $0$ .

$6 x y + x^{2} + \frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 8.7.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $6 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $6 x y + x^{2} + 3 - x^{2} - 6 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 0 + 3 - 6 x y$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $6 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y + 3 - 6 x y$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $6 x y$ da $6 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{d g}{d y} = 3$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $3$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = 3 y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y^{2} x + y x^{2} + x^{2} + 3 y + C$