Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{\frac{3}{4}}$ .

$v = y^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{4}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{4}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{4}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{4}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{4}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$y' = 4 u^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = 4 v^{3} \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = 4 v^{3} v'$

Passaggio 5

Sostituisci $4 v^{3} v'$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{4}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$ .

$4 v^{3} v' + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Dividi per $4 v^{3}$ ciascun termine in $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Dividi per $4 v^{3}$ ciascun termine in $4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $v^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.2.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 (v^{3})} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v^{4}}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $v^{4}$ e $v^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.4.1

Scomponi $v^{3}$ da $2 v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2.4

Dividi $2 v$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{4 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 v^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Passaggio 6.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

Passaggio 6.1.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{2 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $v^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3}}{2}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'equazione con i coefficienti isolati.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{1}{2} x^{3}$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3}$

Passaggio 6.3.4

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x}}{2} x^{3}$

Passaggio 6.3.5

$\frac{e^{2 x}}{2}$ e $x^{3}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$

Passaggio 6.3.6

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} v = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \int x^{3} e^{2 x} d x$

Passaggio 6.7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.7.3.2

$x^{3}$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.7.3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 6.7.3.4

$3$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x}}{2} x^{2} d x)$

Passaggio 6.7.3.5

$\frac{3 e^{2 x}}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{2} d x)$

Passaggio 6.7.4

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 x} x^{2} d x))$

Passaggio 6.7.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Passaggio 6.7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.6.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Passaggio 6.7.6.2

$x^{2}$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

Passaggio 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x))$

Passaggio 6.7.6.4

$2$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x))$

Passaggio 6.7.6.5

$\frac{2 e^{2 x}}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Passaggio 6.7.6.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.6.6.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

Passaggio 6.7.6.6.2

Dividi $e^{2 x} x$ per $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x))$

Passaggio 6.7.7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Passaggio 6.7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.8.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Passaggio 6.7.8.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

Passaggio 6.7.8.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)))$

Passaggio 6.7.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))))$

Passaggio 6.7.10

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.7.10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7.10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.7.10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.7.10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)))$

Passaggio 6.7.11

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

Passaggio 6.7.12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

Passaggio 6.7.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 6.7.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 6.7.14

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$

Passaggio 6.7.15

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$ come $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.17.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.17.2.1

Combina.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.17.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.17.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.17.2.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.17.2.3

Combina.

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

Passaggio 6.7.17.2.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.17.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3 e^{2 x}}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{2 \cdot 8} + C$

Passaggio 6.7.17.2.4.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Passaggio 6.7.17.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.17.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Passaggio 6.7.17.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Passaggio 6.7.17.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Passaggio 6.7.17.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

Passaggio 6.7.18

Riordina i termini.

$e^{2 x} v = \frac{1}{4} x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{3}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3}}{4} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8.1.2

$\frac{x^{3}}{4}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8.1.3

$x^{2}$ e $\frac{3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8.1.4

$e^{2 x}$ e $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8.1.5

$\frac{3}{8}$ e $x$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x}{8} e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8.1.6

$\frac{3 x}{8}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

Passaggio 6.8.1.7

$e^{2 x}$ e $\frac{3}{16}$ .

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$

Passaggio 6.8.2

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.8.2.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.2

Combina.

$v = \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.8.2.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{x^{3} \cdot 1}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{2 x} x^{2}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 \cdot (e^{2 x} x^{2})}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.7

Moltiplica $\frac{1}{e^{2 x}}$ per $\frac{3 e^{2 x} x^{2}}{8}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.8

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.9

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.10

Combina.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.11

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.13

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.14

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 \cdot e^{2 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.15

Moltiplica $\frac{1}{e^{2 x}}$ per $\frac{3 e^{2 x}}{16}$ .

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.16

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1.16.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.1.16.2

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{\frac{1}{4}}$ a $v$ .

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$