Calcolo Esempi

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $10 x y$ ciascun termine in $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $10 x y$ ciascun termine in $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per scrivere $- \frac{y}{10 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{y}{10 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi $y \cdot y$ come $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

Passaggio 2.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune di $10 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $10 y$ da $10 y x$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $(1 + y) (1 - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $y$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Sia $u = (1 + y) (1 - y)$ . Allora $d u = - 2 y d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sia $u = (1 + y) (1 - y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Differenzia $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Passaggio 3.2.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = 1 + y$ e $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 (1 + y)$ come $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.2.2.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.2.2.1.3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.1.3.11

Moltiplica $1 - y$ per $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Passaggio 3.2.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Passaggio 3.2.2.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$- y + 0 - y$

Passaggio 3.2.2.1.4.2.3

Somma $- y$ e $0$ .

$- y - y$

Passaggio 3.2.2.1.4.2.4

Sottrai $y$ da $- y$ .

$- 2 y$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7.2

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.7.2.2.4

Dividi $- 5$ per $1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.9

Semplifica.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 + y) (1 - y)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Espandi $(1 + y) (1 - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.4

Somma $\ln (| x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

Passaggio 4.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ .

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ per $1$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 4.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 4.5.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Passaggio 4.5.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

Passaggio 4.6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

Passaggio 4.7

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

Passaggio 4.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

Passaggio 4.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Riscrivi l'equazione come ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

Passaggio 4.10.2

Dividi per $| x |$ ciascun termine in ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Dividi per $| x |$ ciascun termine in ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ .

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Passaggio 4.10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Passaggio 4.10.2.2.1.2

Dividi ${| 1 - y^{2} |}^{5}$ per $1$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Passaggio 4.10.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

Passaggio 4.10.4

Semplifica $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.4.1

Riscrivi $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ come $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

Passaggio 4.10.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Passaggio 4.10.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Passaggio 4.10.4.3.2

Eleva $\sqrt[5]{| x |}$ alla potenza di $1$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Passaggio 4.10.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

Passaggio 4.10.4.3.4

Somma $1$ e $4$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

Passaggio 4.10.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ come $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{| x |}$ come ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Passaggio 4.10.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 4.10.4.3.5.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 4.10.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 4.10.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

Passaggio 4.10.4.3.5.5

Semplifica.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

Passaggio 4.10.4.4

Riscrivi ${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ come $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

Passaggio 4.10.4.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

Passaggio 4.10.4.6

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Passaggio 4.10.5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Passaggio 4.10.6

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Passaggio 4.10.7

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

Passaggio 4.10.8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.10.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.10.8.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.10.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.8.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.10.8.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ come $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.10.8.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

Passaggio 4.10.9

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$