Calcolo Esempi

$4 (y d) x + 3 x d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $4 y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x d y = - 4 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Passaggio 3.2

$3$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3}{y} d y = - 4 \frac{1}{x y} y d x$

Passaggio 3.5

$- 4$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x y} y d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica $4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{4}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{4}) = C$

Passaggio 5.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln ({| y |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{4} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{4} {| y |}^{3}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $x^{4}$ ciascun termine in $x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi ${| y |}^{3}$ per $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\frac{e^{C}}{x^{4}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{3}$ su $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{4}}}$

Passaggio 5.5.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $x^{3}$ su $x^{4}$ .

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}}$

Passaggio 5.5.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}$ .

$| y | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}}$

Passaggio 5.5.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$| y | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$

Passaggio 5.5.4.3

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| y | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 5.5.4.4

Combina.

$| y | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 5.5.4.5

Moltiplica $\sqrt[3]{e^{C}}$ per $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 5.5.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.7.2

Sposta $\sqrt[3]{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Passaggio 5.5.4.7.3

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Passaggio 5.5.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.4.7.5

Somma $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.5

Semplifica.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Passaggio 5.5.4.8

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.9

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.10

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.11

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}}$