Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Passaggio 1.2.3

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Passaggio 1.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Passaggio 1.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.4.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.4.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.2.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Passaggio 1.2.4.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$