Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $3 x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2} y^{2}$ da $4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2} y^{2}$ da $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) - 3 x^{2} y^{2}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2} y^{2}$ da $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{2} y^{2}$ da $x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x - 3)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2} (4 x - 3))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $x^{2} y^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Passaggio 1.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x - 3)$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$

Passaggio 1.4.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.4.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.4.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}$

Passaggio 1.4.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 \cdot x^{2}$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.5.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$ .

$x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $x^{4} y - x^{3} y + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $x^{4} y$ .

$y x^{4} - x^{3} y + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $- x^{3} y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y x^{4} + y (- x^{3}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.4

Scomponi $y$ da $y x^{4} + y (- x^{3})$ .

$y (x^{4} - x^{3}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.5

Scomponi $y$ da $y (x^{4} - x^{3}) + y K$ .

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $x^{4} - x^{3} + K$ ciascun termine in $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $x^{4} - x^{3} + K$ ciascun termine in $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ .

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4} - x^{3} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{x^{4} - x^{3} + K}$