Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Allora $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 2.3.2.1.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.2

$- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Dividi $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ per $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.5

Riordina i fattori in $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.4.1

Semplifica.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.4

Riordina i termini.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$