Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{9}$ .

$v = y^{- 8}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{8}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{8}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.7

$- 1$ e $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.9.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.11

$\frac{1}{8}$ e $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.12

Sposta $v^{- \frac{7}{8}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.13

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.14

$\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.15

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 5.16

Moltiplica $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ per $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5.17

Moltiplica $v^{\frac{7}{8}}$ per $v^{\frac{1}{4}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.17.1

Sposta $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

Passaggio 5.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

Passaggio 5.17.3

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

Passaggio 5.17.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.17.4.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

Passaggio 5.17.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

Passaggio 5.17.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

Passaggio 5.17.6

Somma $2$ e $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{8}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ .

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ per $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Scomponi $8 v^{\frac{9}{8}}$ da $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Moltiplica $v^{- \frac{1}{8}}$ per $v^{\frac{9}{8}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.5.1

Sposta $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.4

Sottrai $1$ da $9$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.5.5

Dividi $8$ per $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

Semplifica $- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.8

$- 8$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.10

$v$ e $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.2.1.11

Sposta $8$ alla sinistra di $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Moltiplica $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.2.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2.2

$- 9$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $v^{- \frac{9}{8}}$ per $v^{\frac{9}{8}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.1

Sposta $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

Passaggio 7.1.1.3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.4

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

Passaggio 7.1.1.3.4.5

Dividi $0$ per $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

Passaggio 7.1.1.3.5

Semplifica $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $- \frac{8 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $- \frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{8}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2

Integra $- \frac{8}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 7.2.2.5

Semplifica.

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 8 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

Passaggio 7.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 8}$

Passaggio 7.2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{8}}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2.3

$\frac{8}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.1

Moltiplica $\frac{8 v}{x}$ per $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.2.4.2.2

Somma $1$ e $8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{x^{8}}$ e $- 8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

Passaggio 7.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

Passaggio 7.7.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

Passaggio 7.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

Passaggio 7.7.3.2

Sposta $x^{8}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.7.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{8})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.7.3.3.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

Passaggio 7.7.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

Passaggio 7.7.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.5.1.1

$x^{- 7}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

Passaggio 7.7.5.1.2

Sposta $x^{- 7}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

Passaggio 7.7.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

Passaggio 7.7.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

Passaggio 7.7.5.3.2

$8$ e $\frac{1}{7 x^{7}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Passaggio 7.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.1

Sottrai $\frac{8}{7 x^{7}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

Passaggio 7.8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Passaggio 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{8}}$ e $v$ .

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Passaggio 7.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $v$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Somma $\frac{8}{7 x^{7}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

Passaggio 7.8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Passaggio 7.8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{8}$ .

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Passaggio 7.8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Passaggio 7.8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1

Semplifica $(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1.2.1

Scomponi $x^{7}$ da $7 x^{7}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.2

Scomponi $x^{7}$ da $x^{8}$ .

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2.1.3

$\frac{8}{7}$ e $x$ .

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

Passaggio 7.8.4.2.1.4

Riordina $\frac{8 x}{7}$ e $C x^{8}$ .

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{- 8}$ a $v$ .

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$