Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = 3 x + 2$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.2

$u^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ .

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Passaggio 4.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Passaggio 4.2.4.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Passaggio 4.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Passaggio 4.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Passaggio 4.2.5

$\frac{1}{3}$ e $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{4}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Passaggio 4.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Passaggio 4.3.4

Sottrai $4$ da $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{1}{3}$ a $K$ in $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{1}{3}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.3

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $27$ per $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica $2$ per $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.7

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.9

Moltiplica $9$ per $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.11

Moltiplica $4$ per $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.12

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.14

Moltiplica $8$ per $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.15

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Scomponi $3$ da $81 x^{4}$ .

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.1.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.2

$27$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.3

$\frac{27}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $12$ da $216 x^{3}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.5

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.5.1

Scomponi $12$ da $216 x^{2}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.5.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.6

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.6.1

Scomponi $12$ da $96 x$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.7.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.7.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.7.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4.8

$\frac{1}{3}$ e $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Passaggio 5.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Passaggio 5.5

Dividi $3$ per $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$