Calcolo Esempi

$x e^{x^{2}} d x + (y^{5} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x e^{x^{2}} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y^{5} - 1) d y = - x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{5} - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{5} d y + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{5}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} - y + C_{2} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = \int - x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 2.3.2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$ come $- \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{6} y^{6} - y = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$