Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ .

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $0.04 y + 8000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 0.04 y + 8000$ . Allora $d u = 0.04 d y$ , quindi $\frac{1}{0.04} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 0.04 y + 8000$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{0.04}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $0.04$ per $1$ .

$0.04$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $u$ , sposta $25$ fuori dall'integrale.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $0.04 y + 8000$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $25$ ciascun termine in $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $25$ ciascun termine in $25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ .

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ per $1$ .

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ .

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $8000$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $0.04$ ciascun termine in $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $0.04$ ciascun termine in $0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ .

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0.04$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Scomponi $0.04$ da $0.04$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3.1.4

Frazioni separate.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3.1.5

Dividi $1$ per $0.04$ .

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3.1.6

Dividi $\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ per $1$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

Passaggio 3.4.4.3.1.7

Dividi $- 8000$ per $0.04$ .

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$