Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Passaggio 1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Passaggio 1.3.1.1.2

Dividi $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $\tan (\frac{y}{x})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.3.1

$\sin (\frac{y}{x})$ e $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.3.2

Eleva $\sin (\frac{y}{x})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.3.3

Eleva $\sin (\frac{y}{x})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $\sin (\frac{y}{x})$ da $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2.2

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Passaggio 1.3.2.3

Converti da $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ a $\tan (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Passaggio 1.3.2.4

Dividi $\sin (\frac{y}{x})$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Semplifica $V + \sin (V) \tan (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.1.1

Riscrivi $\tan (V)$ in termini di seno e coseno.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2

Moltiplica $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2.1

$\sin (V)$ e $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2.2

Eleva $\sin (V)$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2.3

Eleva $\sin (V)$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1.2.1

Scomponi $\sin (V)$ da $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.2.2

Frazioni separate.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.1.1.2.3

Converti da $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ a $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Passaggio 6.1.1.1.1.2.4

Dividi $\sin (V)$ per $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $\sin (V) \tan (V)$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Passaggio 6.1.1.2.3

Riscrivi $\tan (V)$ in termini di seno e coseno.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.4

Moltiplica $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.4.1

$\sin (V)$ e $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.4.2

Eleva $\sin (V)$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.4.3

Eleva $\sin (V)$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.5

Scomponi $\sin (V)$ da $\sin^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.6

Frazioni separate.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Passaggio 6.1.1.2.7

Converti da $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ a $\tan (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Passaggio 6.1.1.2.8

Dividi $\sin (V)$ per $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $\sin (V) \tan (V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Converti da $\frac{1}{\sin (V)}$ a $\csc (V)$ .

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.3

Riscrivi $\tan (V)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.5

Converti da $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ a $\cot (V)$ .

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Poiché la derivata di $- \csc (V)$ è $\cot (V) \csc (V)$ , l'integrale di $\cot (V) \csc (V)$ è $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Dividi $\csc (V)$ per $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Passaggio 6.3.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $V$ dalla cosecante.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$