Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{t}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{t}$ per $y$ .

$y = V t$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V t$ rispetto a $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $t \frac{d V}{d t} + V$ a $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d t}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Sottrai $V$ da $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Passaggio 5.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 V + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Passaggio 5.1.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di $- V + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Scomponi $- V + 1$ da $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Passaggio 5.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Passaggio 5.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sia $u = - V + 1$ . Allora $d u = - d V$ , quindi $- d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Sia $u = - V + 1$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Passaggio 5.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| t |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Passaggio 5.3.2.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| t |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Passaggio 5.3.3

Somma $\ln (t^{2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Dividi $\ln (| - V + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.3.4.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Passaggio 5.3.4.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ come $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Passaggio 5.3.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Passaggio 5.3.6

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Passaggio 5.3.7

Riordina i fattori in $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Passaggio 5.3.8

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Passaggio 5.3.10

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi l'equazione come $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Passaggio 5.3.10.2

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.2.1

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.10.2.2.1.2

Dividi $| - V + 1 |$ per $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.10.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.10.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Passaggio 5.3.10.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.10.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.10.5.2.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.10.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.10.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ come $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.10.5.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Passaggio 5.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Passaggio 5.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{t}$ a $V$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

$\frac{1}{t^{2}}$ e $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Passaggio 7.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Passaggio 7.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{C}{t^{2}}$ nel numeratore.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Passaggio 7.2.2.1.3.2

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Passaggio 7.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Passaggio 7.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Passaggio 7.2.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.4.1

Moltiplica $t$ per $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Passaggio 7.2.2.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Passaggio 7.2.2.1.4.3

Riordina $- \frac{C}{t}$ e $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$