Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\sin (y) + y \cos (y)$ .

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Passaggio 1.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica $2 \log (e^{x})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1.2.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.2.5.1

Semplifica.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.5.2.1

Somma $- \cos (y)$ e $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Somma $y \sin (y)$ e $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $x \log (e^{2 x}) + 1$ come $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $2 \log (e)$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 \log (e)$ fuori dall'integrale.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Passaggio 2.3.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Passaggio 2.3.7.4

Riordina i termini.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$