Calcolo Esempi

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $1$ per $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = 2$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = 2$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $1$ a $M$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Passaggio 5.3.2

Dividi $2 + 0$ per $1$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

$2$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int 2 d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $d x + (y + 2 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $1$ per $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $y + 2 x$ per $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = e^{2 y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 y} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{2 y} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 12.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $2 x e^{2 y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Sottrai $2 x e^{2 y}$ da $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Passaggio 13.1.2.2

Somma $y e^{2 y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $y e^{2 y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Passaggio 14.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Passaggio 14.4.2

$y$ e $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Passaggio 14.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Passaggio 14.6

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Passaggio 14.7

Sia $u = 2 y$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Sia $u = 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 14.7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 14.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 14.7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 14.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 14.8

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 14.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 14.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Passaggio 14.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 14.11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 14.12

Riscrivi $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ come $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 14.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Passaggio 16

Semplifica $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Passaggio 16.1.2

$\frac{y}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Passaggio 16.1.3

$e^{2 y}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.2

Sottrai $\frac{e^{2 y}}{4}$ da $e^{2 y} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Riordina $e^{2 y}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.2.2

Per scrivere $x e^{2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.2.3

$x e^{2 y}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.3.2

Scomponi $e^{2 y}$ da $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.1

Scomponi $e^{2 y}$ da $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Passaggio 16.3.2.2

Scomponi $e^{2 y}$ da $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Passaggio 16.3.2.3

Scomponi $e^{2 y}$ da $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.4

Per scrivere $\frac{y e^{2 y}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Moltiplica $\frac{y e^{2 y}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1

Scomponi $e^{2 y}$ da $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1.1

Scomponi $e^{2 y}$ da $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.7.1.2

Scomponi $e^{2 y}$ da $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Passaggio 16.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$