Calcolo Esempi

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (y^{3} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (y^{3} - x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = y^{3} - x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [y^{3} - x] + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x]) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2} + 0) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.4

Somma $3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (3 y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (y^{1} y^{2}) + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{1 + 2} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + (y^{3} - x) \cdot 1$

Passaggio 2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $y^{3} - x$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{3} + y^{3} - x$

Passaggio 2.8.2

Somma $3 y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - x$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (y^{3} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (y^{3} + x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3} + x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [y^{3} + x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x] + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (y^{3} + x) \cdot 1$

Passaggio 3.3.7

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Moltiplica $y^{3} + x$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + y^{3} + x$

Passaggio 3.3.7.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 2 x$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $4 y^{3} - x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y^{3} + 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$4 y^{3} - x = y^{3} + 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $y^{3} + 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $4 y^{3} - x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y (y^{3} - x)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y (y^{3} - x)$ a $M$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3} - x)}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{3} + 2 x - (4 y^{3}) - - x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} - - x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + 1 x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{y^{3} + 2 x - 4 y^{3} + x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.4

Sottrai $4 y^{3}$ da $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 2 x + x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.5

Somma $2 x$ e $x$ .

$\frac{- 3 y^{3} + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.6

Scomponi $3$ da $- 3 y^{3} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 x}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.6.2

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (x)}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.2.6.3

Scomponi $3$ da $3 (- y^{3}) + 3 (x)$ .

$\frac{3 (- y^{3} + x)}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $- y^{3} + x$ e $y^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) + x)}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (- x))}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3}) - 1 (- x)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riscrivi $- (y^{3} - x)$ come $- 1 (y^{3} - x)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.3.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} - x))}{y (y^{3} - x)}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Passaggio 5.3.5

Sostituisci $y (y^{3} - x)$ a $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| y |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y (y^{3} - x) d x + x (y^{3} + x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $y (y^{3} - x)$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y^{3}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$y (y^{3} - x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $y^{3} - x$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x (y^{3} + x)$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + x (y^{3} + x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x \cdot x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + (x y^{3} + x^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x y^{3} + x^{2}$ per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.8

Scomponi $x$ da $x y^{3} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Scomponi $x$ da $x y^{3}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.8.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3}) + x \cdot x}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.8.3

Scomponi $x$ da $x (y^{3}) + x \cdot x$ .

$\frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x + \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} - x}{y^{2}} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = \frac{y^{3} - x}{y^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $\frac{1}{y^{2}}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int y^{3} - x d x$

Passaggio 9.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\int y^{3} d x + \int - x d x)$

Passaggio 9.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C + \int - x d x)$

Passaggio 9.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - \int x d x)$

Passaggio 9.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Passaggio 9.6

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = \frac{1}{y^{2}}$ e $g (y) = y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}] + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.4

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{3} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2}]) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.6

Poiché $- \frac{x^{2}}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.7

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{y^{2}} (x (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.10

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 \cdot x y^{2} + 0) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.11

Somma $3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{y^{2}} (3 x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.12

$3$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3}{y^{2}} (x y^{2}) + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.13

$x$ e $\frac{3}{y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} y^{2} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.14

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.15

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 \cdot x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.16

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.16.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x y^{2}}{y^{2}} + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.16.2

Dividi $3 x$ per $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.17

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.17.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.17.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.18

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.19

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.3.21

Sottrai $4$ da $1$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x + y^{3} x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x + y^{3} x \frac{- 2}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 x + y^{3} x (- \frac{2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.3

$y^{3}$ e $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x + x (- \frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.4

$x$ e $\frac{y^{3} \cdot 2}{y^{3}}$ .

$3 x - \frac{x (y^{3} \cdot 2)}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$3 x - \frac{x (2 \cdot y^{3})}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 x - \frac{2 \cdot x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.7

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - \frac{2 x y^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.7.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$3 x - (2 x) - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.9

$- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 x - 2 x - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 x - 2 x + 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.12

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.13

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{2}{y^{3}}$ .

$3 x - 2 x + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.14

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 x - 2 x + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.15.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 2 x + \frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x - 2 x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.3.16

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$x + \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 12.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $\frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x (y^{3} + x)}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x \cdot x}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - (x \cdot x)}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x^{2} - x y^{3} - x^{2}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - x y^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.4.2

Somma $- x y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{3}}{y^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.5.2

Dividi $- x$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x = 0$

Passaggio 13.1.6

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d y} + x - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Passaggio 13.1.6.2

Somma $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 14.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 14.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}) + C$

Passaggio 16.2

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Scomponi $x$ da $y^{3} x - \frac{x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1.1

Scomponi $x$ da $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} - \frac{x^{2}}{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3.1.2

Scomponi $x$ da $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x (- \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3.1.3

Scomponi $x$ da $x y^{3} + x (- \frac{x}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3.2

Per scrivere $y^{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3.3

$y^{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (\frac{y^{3} \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x \frac{y^{3} \cdot 2 - x}{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x \frac{2 y^{3} - x}{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.4

$x$ e $\frac{2 y^{3} - x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{x (2 y^{3} - x)}{2}}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 16.6

Combina.

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x) \cdot 1}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 16.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (2 y^{3} - x)}{2 y^{2}} + C$