Calcolo Esempi

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $e^{x} (y - 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $e^{x} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y - 1$ da $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $y - 1$ da $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Passaggio 3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ e $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{1} = y - 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{1} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 4.2.2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = e^{x} + 4$ . Allora $d u_{2} = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{x} + 4$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y - 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y - 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Passaggio 5.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Passaggio 5.3

Espandi $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ come $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Passaggio 5.3.2

Espandi $\ln ({(y - 1)}^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Passaggio 5.4

L'equazione espansa è $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Passaggio 5.5

Sottrai $\ln (| e^{x} + 4 |)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Passaggio 5.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $\ln (y - 1)$ per $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Passaggio 5.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Passaggio 5.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Passaggio 5.9.2

Semplifica $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Riscrivi.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Passaggio 5.9.2.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Passaggio 5.9.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Passaggio 5.9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Passaggio 5.9.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1

Dividi la frazione $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ in due frazioni.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Passaggio 5.9.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Passaggio 6.3

Riscrivi $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ come $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Passaggio 6.4

Riordina $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$