Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d t} = \frac{2 t + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $t$ da $2 t + t r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $t$ da $2 t$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $t$ da $t r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t (r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $t$ da $t \cdot 2 + t (r^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $t$ per $2 + r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Passaggio 1.2

Scomponi $r$ da $4 r + r t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $r$ da $4 r$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r t^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $r$ da $r t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r (t^{2})}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $r$ da $r \cdot 4 + r (t^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot (4 + t^{2})}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $r$ per $4 + t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{r}{2 + r^{2}}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} (\frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{t}{4 + t^{2}}$ per $\frac{2 + r^{2}}{r}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{(4 + t^{2}) r}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $r$ da $(4 + t^{2}) r$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{4 + t^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $2 + r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $2 + r^{2}$ da $t (2 + r^{2})$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{r}{2 + r^{2}} d r = \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{r}{2 + r^{2}} d r = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 r d r$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = r d r$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [2 + r^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + r^{2}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $2$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 r$ .

$2 r$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 + r^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $4 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [4 + t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 t$ .

$2 t$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 + r^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 4 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 2 + r^{2} |) - \ln (| 4 + t^{2} |) = 2 C$

Passaggio 3.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$

Passaggio 3.5

Per risolvere per $r$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |})} = e^{2 C}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica ogni lato per $| 4 + t^{2} |$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Elimina il fattore comune di $| 4 + t^{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Passaggio 3.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 2 + r^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Passaggio 3.7.4

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Riordina i fattori in $e^{2 C} | 4 + t^{2} |$ .

$| 2 + r^{2} | = | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 + r^{2} = \pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.3

Riordina i fattori in $\pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$ .

$2 + r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Passaggio 3.7.4.4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2$

Passaggio 3.7.4.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$r = \pm \sqrt{\pm C | 4 + t^{2} | - 2}$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$r = \pm \sqrt{C | 4 + t^{2} | - 2}$