Calcolo Esempi

$2 x \frac{d y}{d x} = x + y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \frac{d y}{d x} - y = x$

Passaggio 1.2

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \frac{d y}{d x} - y = x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

Scomponi $y$ da $\frac{- y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7

Riordina $y$ e $\frac{- 1}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x} y = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 1}{2 x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 1}{2 x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{2 x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{y}{2 x}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.5.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3

Combina.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 7.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 7.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.4.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7.4.2.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.2.1.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.2.1.2.4

Dividi $2$ per $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3.2.1.3

Semplifica $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$