Calcolo Esempi

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

Passaggio 1

Somma $7 d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 - x^{2}$ da $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ e $7$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = 3 y$ . Allora $d u_{1} = 3 d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = 3 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.2

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 y$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Passaggio 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.1.2

Dividi $(A) (1 - x)$ per $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.5

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.5.2

Dividi $(B) (1 + x)$ per $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Passaggio 4.3.2.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Passaggio 4.3.2.1.6.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7.3

Sposta $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Passaggio 4.3.2.1.7.4

Sposta $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Passaggio 4.3.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 1 A + B$ con $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (1 - B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.5

Sia $u_{2} = 1 + x$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sia $u_{2} = 1 + x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.3.5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Passaggio 4.3.8

Sia $u_{3} = 1 - x$ . Allora $d u_{3} = - d x$ , quindi $- d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Sia $u_{3} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.8.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 4.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 4.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Passaggio 4.3.11

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Passaggio 4.3.12

Semplifica.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.14

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica le espressioni nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 y)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + x |)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Passaggio 5.1.2.1.1.2

$\ln (| 1 - x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Passaggio 5.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Passaggio 5.1.2.1.3

$7$ e $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Passaggio 5.1.2.1.4

Moltiplica $7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Passaggio 5.1.2.1.4.2

$- 7$ e $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Passaggio 5.1.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $6$ ciascun termine in $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ per $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ nel numeratore.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

Passaggio 5.2.3.1.5

Sposta $6$ alla sinistra di $C$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica $21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Semplifica $21 \ln (| 1 + x |)$ spostando $21$ all'interno del logaritmo.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Passaggio 5.3.1.1.2

Semplifica $- 21 \ln (| 1 - x |)$ spostando $21$ all'interno del logaritmo.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

Passaggio 5.3.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

Passaggio 5.5

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

Passaggio 5.6

Sottrai $6 C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

Passaggio 5.7

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ .

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $\sin (3 y)$ per $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Passaggio 5.7.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 6 C$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

Passaggio 5.7.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

Passaggio 5.7.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

Passaggio 5.7.3.1.2.2.4

Dividi $3 C$ per $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

Passaggio 5.8

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

Passaggio 5.9

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ .

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

Passaggio 5.9.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

Passaggio 5.9.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Passaggio 5.9.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Passaggio 5.9.1.4.2

$21$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Passaggio 5.9.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

Passaggio 5.9.1.5.2

$21$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

Passaggio 5.10

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Passaggio 5.10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Passaggio 5.10.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$