Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{4}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - 6 y = x^{4}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{4}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{4}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{4}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = \frac{x^{3}}{1}$

Passaggio 1.3.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{x} = x^{3}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{- 6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{x} = x^{3}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{- 6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{x} y = x^{3}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 6}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 6}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 6}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{6}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{6}{x} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{- (6 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 6 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$e^{- 6 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 6 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 6})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 6}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{6}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{6}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{6}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (\frac{- 6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}} (- \frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} (\frac{6}{x} y) = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{6}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x} = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{6 y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{6 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x \cdot x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1} x^{6}} = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{1 + 6}} = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{6}} x^{3}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{6}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{3} x^{3}} x^{3}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{3} x^{3}} x^{3}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{6}} - \frac{6 y}{x^{7}} = \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] = \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}} y] d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{6}} y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = \int x^{- 3} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{6}} y = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Somma $\frac{1}{2 x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{2 x^{2}} = C$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{6}} y + \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

Passaggio 8.1.3

$\frac{1}{x^{6}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{6}} + \frac{1}{2 x^{2}} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $\frac{1}{2 x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{6}} - C = - \frac{1}{2 x^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x^{6}} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{6}$ .

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{6}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{6}} x^{6} = (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{6}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{6}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(- \frac{1}{2 x^{2}} + C) x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{2 x^{2}} x^{6} + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 x^{2}}$ nel numeratore.

$y = \frac{- 1}{2 x^{2}} x^{6} + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{2} \cdot 2} x^{6} + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{4}) + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 1}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{4}) + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 1}{2} x^{4} + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.3

$\frac{- 1}{2}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{4}}{2} + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{4}}{2} + C x^{6}$

Passaggio 8.4.2.1.4.2

Riordina $- \frac{x^{4}}{2}$ e $C x^{6}$ .

$y = C x^{6} - \frac{x^{4}}{2}$