Calcolo Esempi

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

Passaggio 1

Somma $y d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$(1 - x) d y = y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 - x$ da $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $y$ da $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 4.3.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

Passaggio 5.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| y - y x |) = C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (| y - y x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $| y - y x | = e^{C}$ .

$| y - y x | = e^{C}$

Passaggio 5.8.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.3

Scomponi $y$ da $y - y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.3.2

Scomponi $y$ da $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.5

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = \pm e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.5.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = \pm e^{C}$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Passaggio 5.8.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.5.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Passaggio 5.8.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{1 - x}$