Calcolo Esempi

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(x - 3) y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 3$ e $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.8

Riordina $y$ e $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.9

Moltiplica $y$ per $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Passaggio 5.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Passaggio 6

Dividi per $x - 3$ ciascun termine in $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $x - 3$ ciascun termine in $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$