Calcolo Esempi

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r t}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Passaggio 2.5

Metti in evidenza $e^{r t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $e^{r t}$ da $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $e^{r t}$ da $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $e^{r t}$ da $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $e^{r t}$ da $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $e^{r t}$ da $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Passaggio 2.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $16$ e $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.1.3

Somma $16$ e $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Passaggio 3.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Passaggio 3.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.3

Somma $16$ e $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Passaggio 3.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Passaggio 3.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

$t$ e $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Passaggio 6.2

$t$ e $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$