Calcolo Esempi

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Passaggio 1.2.2

$4$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ .

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $y^{- 2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.3.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica $y^{0}$ .

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.3.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{- 2}$ .

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.3.4

Riscrivi $- 1 y^{- 2}$ come $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Semplifica.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.8.2.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ per $y$ .

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.5

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.3

Riscrivi ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ come $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.4

Espandi $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.5.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.1.5

Moltiplica $K$ per $K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.2

Somma $2 x^{2} K$ e $2 K x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.5.2.2

Somma $2 K x^{2}$ e $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.6

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.6.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.7

Riscrivi $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.7.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.7.1.1

Riscrivi $4 x^{4}$ come ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.7.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

Passaggio 3.3.6.1.7.1.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.7.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 x^{2}$ e $b = K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.1.7.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x^{2} + K$ e $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

Passaggio 3.3.6.3

Semplifica $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Passaggio 3.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$