Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y^{2} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Combina.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $- x^{- 1} + C_{2}$ come $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, x, 1$

Passaggio 3.1.2

Poiché $y, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - \frac{1}{x} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - \frac{1}{x} + K$ per $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} (y x) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scomponi $y$ da $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} (y x) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Passaggio 3.2.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$- x = \frac{- 1}{x} (y x) + K (y x)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Scomponi $x$ da $y x$ .

$- x = \frac{- 1}{x} (x y) + K (y x)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- x = \frac{- 1}{x} (x y) + K (y x)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x = - y + K (y x)$

$- x = - y + K y x$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- y + K y x = - x$ .

$- y + K y x = - x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $- y + K y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \cdot - 1 + K y x = - x$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y x$ .

$y \cdot - 1 + y (K x) = - x$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 1 + y (K x)$ .

$y (- 1 + K x) = - x$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 1 + K x$ ciascun termine in $y (- 1 + K x) = - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 1 + K x$ ciascun termine in $y (- 1 + K x) = - x$ .

$\frac{y (- 1 + K x)}{- 1 + K x} = \frac{- x}{- 1 + K x}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1 + K x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- 1 + K x)}{- 1 + K x} = \frac{- x}{- 1 + K x}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K x}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x}{- 1 + K x}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (1) + K x}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $K x$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (1) - (- K x)}$

Passaggio 3.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- K x)$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (1 - K x)}$

Passaggio 3.3.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{x}{1 - K x}$

Passaggio 3.3.3.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{x}{1 - K x}$

Passaggio 3.3.3.3.5.3

Moltiplica $\frac{x}{1 - K x}$ per $1$ .

$y = \frac{x}{1 - K x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{x}{1 + K x}$