Calcolo Esempi

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $t$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.5

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

$16$ e $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

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Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $π$ e $v$ con $- 3$ in $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.1.3

Moltiplica $- - 0$ .

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Passaggio 4.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $8 π^{2}$ e $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Passaggio 4.3

Sottrai $8 π^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $- 3 - 8 π^{2}$ a $K$ in $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3 - 8 π^{2}$ a $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$