Calcolo Esempi

\frac{d v}{d t} = 16 t - {sec}^{2} (t)

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ ,

v (π) = - 3

$v (π) = - 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

d v = (16 t - {sec}^{2} (t)) d t

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

\int d v = \int 16 t - {sec}^{2} (t) d t

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

v + C_{1} = \int 16 t - {sec}^{2} (t) d t

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - {sec}^{2} (t) d t

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché

16

$16$ è costante rispetto a

t

$t$ , sposta

16

$16$ fuori dall'integrale.

v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - {sec}^{2} (t) d t

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

t

$t$ rispetto a

t

$t$ è

\frac{1}{2} t^{2}

$\frac{1}{2} t^{2}$ .

v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - {sec}^{2} (t) d t

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

t

$t$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int {sec}^{2} (t) d t

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.5

Poiché la derivata di

tan (t)

$\tan (t)$ è

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ , l'integrale di

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ è

tan (t)

$\tan (t)$ .

v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (tan (t) + C_{3})

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - tan (t) + C_{4}

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$16$ e

$\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di

$16$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi

$8$ per

$1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di

$K$ sostituendo

$t$ con

$π$ e

$v$ con

$- 3$ in

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Passaggio 4

Risolvi per

$K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica

$8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Il valore esatto di

$\tan (0)$ è

$0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.1.3

Moltiplica

$- - 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.2

Somma

$8 π^{2}$ e

$0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Passaggio 4.3

Sottrai

$8 π^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci

$- 3 - 8 π^{2}$ a

$K$ in

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci

$- 3 - 8 π^{2}$ a

$K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$