Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ come $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

$12$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

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Passaggio 2.3.4.2.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.4.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $4$ in $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$4 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 \sin^{3} (0) + K = 4$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $4 \sin^{3} (0) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 4$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 4$

Passaggio 5

Sostituisci $4$ a $K$ in $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $4$ a $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 4$