Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x} y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (2 e^{x} y^{2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y^{2}} (e^{x} y^{2})$

Passaggio 1.2.2

$2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2}} (e^{x} y^{2})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} e^{x})$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} e^{x})$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 e^{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 e^{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = 2 e^{x} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = 2 e^{x} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 e^{x} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = 2 e^{x} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = 2 e^{x} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = 2 e^{x} y + K y$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riordina i fattori in $2 e^{x} y + K y$ .

$- 1 = 2 y e^{x} + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 y e^{x} + K y = - 1$ .

$2 y e^{x} + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $2 y e^{x} + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $2 y e^{x}$ .

$y (2 e^{x}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (2 e^{x}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (2 e^{x}) + y K$ .

$y (2 e^{x} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2 e^{x} + K$ ciascun termine in $y (2 e^{x} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2 e^{x} + K$ ciascun termine in $y (2 e^{x} + K) = - 1$ .

$\frac{y (2 e^{x} + K)}{2 e^{x} + K} = \frac{- 1}{2 e^{x} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 e^{x} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (2 e^{x} + K)}{2 e^{x} + K} = \frac{- 1}{2 e^{x} + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 e^{x} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{2 e^{x} + K}$