Calcolo Esempi

$2 x y \frac{d y}{d x} - y^{2} + x^{2} = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y \frac{d y}{d x} + x^{2} = y^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $2 x y$ ciascun termine in $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $2 x y$ ciascun termine in $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{y}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

Passaggio 1.2.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Metti in evidenza $\frac{x}{y}$ in $\frac{x}{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $\frac{x}{y}$ da $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.3.1.2

Riordina $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Moltiplica $\frac{1}{V}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

Passaggio 6.1.1.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Per scrivere $- V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Scomponi $V$ da $V - V \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Scomponi $V$ da $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Scomponi $V$ da $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Scomponi $V$ da $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.1

Riordina $- \frac{1}{2 V}$ e $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.2

Per scrivere $\frac{V}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3

Moltiplica $\frac{V}{2}$ per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.5

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.6

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

Passaggio 6.1.1.3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ nel numeratore.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Scomponi $2 V$ da $- 2 V$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.3.3

Scomponi $2 V$ da $2 V x$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

Passaggio 6.1.4.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $V^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u = V^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 V d V$ , quindi $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u = V^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $V^{2} + 1$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$2 V + 0$

Passaggio 6.2.2.2.1.5

Somma $2 V$ e $0$ .

$2 V$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

Passaggio 6.3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

Passaggio 6.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

Passaggio 6.3.6

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

Passaggio 6.3.7

Riscrivi $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

Passaggio 6.3.8

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.1

Riscrivi l'equazione come $| V^{2} x + x | = e^{C}$ .

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

Passaggio 6.3.8.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

Passaggio 6.3.8.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

Passaggio 6.3.8.4

Dividi per $x$ ciascun termine in $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Passaggio 6.3.8.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Passaggio 6.3.8.4.2.1.2

Dividi $V^{2}$ per $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Passaggio 6.3.8.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Passaggio 6.3.8.4.3.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Passaggio 6.3.8.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Passaggio 6.3.8.6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.6.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.2

$- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ come $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.6.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.6.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.8.6.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 6.3.8.6.6.6.5

Semplifica.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 6.3.8.6.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

Passaggio 6.3.8.6.8

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$