Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 - 2 \cos (3 x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (6 - 2 \cos (3 x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 6 d x + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.5

$\cos (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \frac{- 2}{3} \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} \int \cos (u) d u$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} (\sin (u) + C_{3})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (u) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (3 x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + K$