Calcolo Esempi

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x + 3 y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $6 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x + 3 y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y (2 x + 3 y)$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.7

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Passaggio 2.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 y = 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x + 3 y) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Espandi $y (2 x + 3 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \int y (2 x) + y (3 y) d y$

Passaggio 5.1.2

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \int y \cdot 2 x + y (3 y) d y$

Passaggio 5.1.3

Riordina $y$ e $2$ .

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y (3 y) d y$

Passaggio 5.1.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y \cdot 3 y d y$

Passaggio 5.1.5

Riordina $y$ e $3$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y \cdot y d y$

Passaggio 5.1.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y) d y$

Passaggio 5.1.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) d y$

Passaggio 5.1.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{1 + 1} d y$

Passaggio 5.1.9

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{2} d y$

Passaggio 5.1.10

Riordina $2 y x$ e $3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 y x d y$

Passaggio 5.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y x d y$

Passaggio 5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y x d y$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y x d y$

Passaggio 5.5

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x \int y d y$

Passaggio 5.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 5.7

Semplifica.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = 1 y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.4

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + x \frac{2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.5

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{x \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.7

Moltiplica $2$ per $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

Passaggio 5.8.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} + x y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + x y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.2.2

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$0 + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $6 x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Passaggio 10.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 6 \int x d x$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Passaggio 10.5.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + 3 x^{2} + C$