Calcolo Esempi

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 (x + y)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = - 2$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = - 2$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $1$ a $M$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $- 2 + 0$ per $1$ .

$- 2 + 0$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $1$ a $M$ .

$- 2$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - 2 d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Passaggio 6

Moltiplica $1$ per $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = e^{- 2 y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- 2 y} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{- 2 y} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.3.6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 11.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Somma $2 x e^{- 2 y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Somma $- 2 x e^{- 2 y}$ e $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $- 2 y e^{- 2 y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 2 y e^{- 2 y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Passaggio 13.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Passaggio 13.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

$e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Passaggio 13.5.2

$y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Passaggio 13.5.3

$e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Passaggio 13.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Passaggio 13.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Passaggio 13.7.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ per $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Passaggio 13.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Passaggio 13.9

Sia $u = - 2 y$ . Allora $d u = - 2 d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Sia $u = - 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1.1

Differenzia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 13.9.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 13.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 13.9.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 13.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Passaggio 13.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Passaggio 13.10.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 13.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Passaggio 13.12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 13.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.13.1

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 13.13.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 13.13.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 13.14

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 13.15

Riscrivi $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.16.1

$y$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13.16.2

$e^{- 2 y}$ e $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13.16.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Passaggio 13.17

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ nel numeratore.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.2.3

Elimina il fattore comune.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.2.4

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.4

Moltiplica $e^{- 2 y}$ per $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Passaggio 13.18.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ nel numeratore.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Passaggio 13.18.5.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Passaggio 13.18.5.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 13.18.5.4

Elimina il fattore comune.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 13.18.5.5

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.6.2

Moltiplica $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.6.2.2

Moltiplica $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ per $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.7

Combina $e^{- 2 y} y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.7.1

Riordina $e^{- 2 y}$ e $y$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.7.2

Per scrivere $y e^{- 2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.7.3

$y e^{- 2 y}$ e $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.8.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.18.8.1.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 13.18.8.1.2

Moltiplica per $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Passaggio 13.18.8.1.3

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Passaggio 13.18.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 13.19

Riordina i termini.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Passaggio 15.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Passaggio 15.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ per $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.6

Combina $e^{- 2 y} y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.1

Riordina $e^{- 2 y}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.6.2

Per scrivere $y e^{- 2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.6.3

$y e^{- 2 y}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.7.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.7.1.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Passaggio 15.1.7.1.2

Moltiplica per $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Passaggio 15.1.7.1.3

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.1.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $e^{- 2 y} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.3

$e^{- 2 y} x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1.1

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $e^{- 2 y} x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.5.1.2

Scomponi $e^{- 2 y}$ da $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Passaggio 15.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$