Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $2$ in $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Passaggio 4.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Passaggio 4.3.1.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Passaggio 4.3.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $2$ e $4$ .

$- 1 + K = 6$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 6 + 1$

Passaggio 4.4.2

Somma $6$ e $1$ .

$K = 7$

Passaggio 5

Sostituisci $7$ a $K$ in $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $7$ a $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$