Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = x^{2} - 8 x + 2$ . Allora $d u = (2 x - 8) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x - 4) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x^{2} - 8 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x^{2} - 8 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 2]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$2 x - 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 8 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$2 x - 8$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8 x + 2$ .

$y + C_{1} = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + K$