Calcolo Esempi

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x - 2 y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Passaggio 2.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - 1}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{- 2 - 1}{x}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{- 3}{x}$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $3 x - 2 y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3 x - 2 y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.4.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 12.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.5.2.3

$y$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.5.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 12.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Sottrai $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4

Combina i termini opposti in $- 2 y - 3 x + 2 y$ .

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Passaggio 13.1.1.4.1

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.4.2

Somma $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1.1

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Somma $\frac{3}{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $\frac{3}{x^{2}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 14.4

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 14.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 14.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 14.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 14.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Riscrivi $3 (- x^{- 1} + C)$ come $3 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 14.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 14.7.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

Passaggio 14.7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$